Метод последовательных приближений. Первая поправка

Предыдущими разделами была практически подготовлена почва для конкретного перехода к решению нестационарного уравнения Шредингера, описывающего влияние внешнего электромагнитного поля на квантовую систему.

(1)

Естественно, при выполнении условий, перечисленных в разделе Основные ограничения. Дипольное приближение .

Решение уравнения будем проводить перейдя к энергетическому представлению, то есть раскладывая искомую волновую функцию по собственным функциям гамильтониана свободной квантовой системы H_0(r), которые предполагаются известными.

(2)

Переход к энергетическому представлению преобразует координатное уравнение Шредингера (1) в систему бесконечного количества уравнений относительно коэффициентов разложения c_n(t), которую мы еще раз выпишем:

(3)

Как было установлено ранее, квадраты модулей коэффициентов c_n(t) представляют собой вероятности нахождения квантовой системы на соответствующем уровне. С течением времени их величина изменяется и этим объясняются переходы системы с уровня на уровень. Если взаимодействие с внешними воздействиями отсутствует, то есть , то уравнения (3) примут вид

(4)

В этом случае, очевидно, что все . Система не меняет вероятностей своего нахождения на уровнях и никаких переходов не происходит.

Мы рассмотрим ситуацию, когда до какого-то определенного момента времени внешнее поле отсутствовало. Примем этот момент времени за t=0. Далее появилось электромагнитное поле в виде монохроматической волны с частотой omega и начали происходить изменения коэффициентов c_n(t).

В общем случае получить точное аналитическое решение беконечной системы уравнений (3) невозможно. Для того, чтобы получить приближенное решение, которое описывает основные свойства поведения квантовой системы, находяшейся под воздействием электромагнитной волны, используется тот факт, что коэффициенты c_n(t) будут зависеть не только от времени, но и от электрической напряженности внешнего поля. В силу предполагаемой малости энергии взаимодействия по сравнению с внутренней энергией самой системы, можно ожидать, что зависимость c_n(t) от E носит плавный характер, по крайней мере для относительно малых E. Поэтому c_n(t) можно представить в виде степенного ряда по E_0 :

(5)

Здесь c_n^{(k)}(t) – коэффициенты, в которых верхний индекс указывает при какой степени амплитуды вектора электрической напряженности стоит данный коэффициент. Ряд (6) имеет смысл, если он сходится для рассматриваемых моментов времени.

В дипольном приближении член, описывающий взаимодействие с монохроматической волной, описывается формулой

(6)

Подставим выражения (5) и (6) в (3) в результате чего система уравнений примет вид

(7)

Здесь введено новое обозначение

,
(8)

которое называется собственной частотой перехода между уровнями i и n.

В (7) в левой и правой частях стоят степенные ряды по амплитуде напряженности электрического поля. Два степенных ряда равны друг другу, если они имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях. Поэтому, записывая равенство коэффициентов начиная с нулевой степени, получаем

.............................................................
(9)

Как видим, количество неизвестных и уравнений увеличилось по сравнению с первоначальной системой уравнений (3), однако оказывается, что система (9) допускает аналитическое решение. Заметим, что каждое уравнение содержит коэффициенты c_n^{(k)}(t), которые отличаются верхним индексом строго на 1, причем коэффициенты с большими индексами стоят слева под знаком производной по времени, а с меньшими в правой части. Решение нужно начинать с первого уравнения для c_n^{(0)}(t), которое очевидно есть

(10)

Далее, полученное решение подставляется в правую часть второго уравнения, решение которого простым интегрированием по времени дает выражение для c_i^{(1)}(t).

(11)

Интегрирование проводится с момента возникновения взаимодействия и до момента времени, для которого необходимо получить решение. В силу того, что под интегралом стоят экспоненциальные функции времени, интеграл берется точно. После нахождения коэффициентов c_i^{(1)}(t), эти коэффициенты подставляются в правую часть следующего уравнения, которое после интегрирования приводит к выражению для c_i^{(2)}(t). Этот процесс последовательного нахождения все более высоких поправок теоретически можно продолжать сколь угодно долго. Ясно, что чем больше найдено поправок (членов ряда), тем более точное приближение к решнию будет получено. Однако при проведении практических расчетов обычно останавливаются на первой или второй поправке, так как громздкость выражений для коэффициентов c_i^{(k)}(t) стремительно возрастает с ростом индекса k и выражения становятся необозримыми и непригодными для анализа.

Отметим, что в момент времени t=0, когда электромагнитное поле еще отсутствует, коэффициенты c_n(t=0) согласно соотношению (5) совпадают с c_n^(0). Их значения определяются исходным состоянием квантовой системы до начала взаимодействия. Мы исследуем случай, когда в начальный момент времени система с вероятностью 1 располагается на одном единственном уровне, номер которого обозначим через l. Это означает, что с точностью до фазового множителя, по модулю равного 1,

(12)

При таких начальных условиях в сумме правой части выражения (11), определяющего первую поправку c_i^{(1)}(t), останется только один член с n=l. И в силу того, что диагональные матричные элементы дипольного момента равны 0,

,
(13)

а для n!=l

(14)

Проанализируем полученое выражение. Оно состоит из двух слагаемых. Однако их вклад неодинаков. Величина числителя обоих членов не превосходит двух. В то же время знаменатели в очень сильной степени зависят от разности собственной частоты перехода и частоты электромагнитной волны, достигая нуля в случае точного резонанса. Под точным резонансом будем понимать равенство собственной частоты перехода и частоты электромагнитной волны. Это либо , либо .

Наиболее интересными случаями, с практической точки зрения, являются случаи, когда коэффициенты c_n(t) испытывают максимальное изменение и желательно за как можно более короткоое время. Это соответствует сильному взаимодействию поля и квантового тела и интенсивным переходам с уровня на уровень. Очевидно такая ситуация имеет место при точном резонансе.

Частота электромагнитного поля omega - величина положительная. Собственная же частота перехода omega_nl может быть как положительной, так и отрицательной. Если уровень n лежит выше уровня l, то omega_nl положительная величина, в противном случае – отрицательная. Для определенности примем, что энергия уровня с номером n больше энергии уровня l, хотя без потери общности можно было бы остановиться на противоположном варианте. В этом случае можно так подобрать частоту внешнего поля, что знаменатель второго члена обратится в 0. В силу предполагаемой малости энергии взаимодействия, имеющей порядок величины mu*E_0, по сравнению с разностью энергий двух уровней, то есть h*omega_nl, первым членом в выражении (14) можно пренебречь.

В дальнейшем, члены, которые содержат тригонометрические функции с большой частотой изменения будем называть быстроосциллирующими. Как видно первый член в выражении (14) это быстроосциллирующий член. Дифференцирование быстроосциллирующих членов по времени всегда приводит к членам, которыми, как правило, из-за большого знаменателя,можно пренебречь.

Вычислим теперь вероятность нахождения квантовой системы на уровне n как функцию времени и частоты. Она равна квадрату модуля коэффициента c_n(t). С учетом того, что c_n^(0)=0, получаем

(15)

Как видно из этого выражения в случае точного резонанса, при , знаменатель становится равен 0, однако все выражение не обращается в бесконечность, так как числитель также обращается в 0. Раскрытие неопределенности 0/0 дает

(16)

На следующем рисунке показан график зависимости от x, где , из которого видно, что имеется несколько максимов, но центральный намного превосходит другие по величине.

Рис. 1. Зависимость от x.

Анализ формул (15) и (16) показывает, что

  1. Наиболее быстрое изменение c_n^2, то есть максимальное взаимодействие квантовой системы с монохроматическим электромагнитным полем, достигается в случае точного резонанса ;
  2. Ширина пика на рисунке на половинной высоте находится в пределах –1.4 < x < 1.4. Так как переменная x определяется как произведение отстройки от резонанса на время взаимодействия, то с увеличением времени взаимодействия ширина резонансной кривой уменьшается;
  3. На любых частотах, кроме резонансной, происходит осциллирующее во времени изменение c_n^2. Это означает, что происходит смена во времени поглощения и излучения. Частота осцилляций тем выше, чем больше расстройка;
  4. В резонансе происходит апериодическое нарастание величины c_n^2. Так как квадрат модуля c_n(t) есть вероятность нахождения системы на уровне n, а вероятность не может превосходить 1, то отсюда следует, что решение с учетом только первой поправки в резонансе справедливо для времен взаимодействия
t<<..
(17)