ДВУХУРОВНЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Согласно выводам, полученным при анализе решений по теории возмущений с точностью до первой поправки Первая поправка, существенно изменяются лишь коэффициенты cnt тех уровней переходов, для которых cnt. Энергетические спектры реальных квантовых систем, таких как атом или молекула, не являются эквидистантными, так что в “резонанс” с полем, как правило, попадает только одна пара уровней. В этом случае в бесконечной системе уравнений (Система уравнений) можно оставить только два коэффициента, cnt и clt, а остальными пренебречь в силу их малости. Это значит, что в системе (BBB) оставляются только два уравнения для этих коэффициентов. С физической точки зрения такой подход эквивалентен рассмотрению квантовой системы, у которой только два уровня. В силу этого данное приближение называется приближением двухуровневой системы или двухуровневым приближением.

Система уравнений, описывающая поведение двухуровневой квантовой системы, имеет вид

dc_n/dt =
dc_l/dt =
(1)

При составлении уравнений (1) было учтено, что диагональные матричные элементы дипольного момента mu_ll и mu_ll равны 0.

Оказывается, что система (1) имеет аналитическое решение, если пренебречь быстроосциллирующими членами. Как и ранее, будем предполагать, что уровень n лежит выше уровня l и в начальный момент времени t=0, когда появилось внешнее поле, c_n(0)=0 и c_l(0)=1. После отбрасывания членов, содержащих экспоненту exp, система примет вид

dc_n/dt =
dc_l/dt =
(2)

Если теперь путем несложных преобразований исключить из двух уравнений одно из неизветных, скажем clt, то получим одно дифференциальное уравнение второго порядка, содержащее один неизвестный коэффициент cnt.

d^2c_n/dt^2 =
(2)

Точно также можно найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет другой коэффициент, clt:

d^2c_l/dt^2 =
(3)

Уравнения (2) и (3) - линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, и в отличие от всех предыдущих рассмотренных уравнений, имеют постоянные, не зависящие от времени коэффициенты. Такого типа уравнения имеют аналитическое решение. В силу того, что это уравнения второго порядка, каждое из них имеет два линейно независимых общих решений.

Обратимся сначала к уравнению (2). Его общее решение может быть записано в виде

c_n(t)=
(4)

Неизвестные alpha1 и alpha2 определяются как корни характеристического уравнения. Оно получается в результате подстановки экспоненты exp(i*alpha*t) в уравнение (2).

equation for alpha
(5)

Корни этого квадратного уравнения определяются хорошо известной формулой:

alpha_1,2 =
(6)

Введем обозначения delt-omega_nl=, которое назовем отстройкой частоты электромагнитного поля и собственной частоты перехода между уровнями n и l, omega_0=, которое называется резонансной частотой Раби и omega= - просто частотой Раби.

В этих обозначениях

alpha_1,2 =
(7)

Неизвестные a_l и a_2 находятся из начальных условий, то есть по известным значениям коэффициентов c_n(0) и c_l(0) в момент начала взаимодействия t=0. Найдем a_l и a_2, однако прежде следует получить выражение для коэффициента clt, так как две неизвестные величины не могут быть найдены из одного уравнения (4).

Выражение для коэффициента clt может быть получено, в принципе, точно так же, как и для cnt, в результате решения дифференциального уравнения (3). Однако, clt должен удовлетворять не только (3), но и уравнениям связи между двумя коэффициентами cnt и clt (1). При независимом рассмотрении уравнений второго порядка (2) и (3) эта связь теряется. Каждое содержит только свой коэффициент. Поэтому, правильным спосбом определения clt будет использование не уравнения (3), а уравнений (1).

Возьмем первое из них, и подставим в него выражение cnt, записанное в (4). Получим

c_l(t) =
(8)

Далее, подставив в уравнения (4) и (8) вместо t 0 получим линейную алгебраическую систему относительно a_l и a_2:

c_n(0) = a_1 + a_2 = 0
(9)
c_l(0) = 1
(10)

Решая эти уравнения, найдем

a_l = -a_2 =
(11)

Таким образом, окончательные выражения для коэффициентов cnt и clt будут иметь вид

c_n(t) =
(12)
c_l(t) =
(13)

Эти выражения необходимы для вычисления средних значений различных физических величин. Квадраты модулей этих коэффициентов имеют ясный физический смысл. Они равны вероятностям нахождения атома на уровнях n и l, и могут быть легко вычислены.

|c_n(t)|^2 =
(14)
|c_l(t)|^2 =
(15)

Первое и главное, что можно сказать при анализе этих выражений – это то, что вероятность нахождения квантовой системы на любом из уровней энергии, вовлеченном в процесс взаимодействия с монохроматическим электромагнитным полем, носит осциллирующий во времени характер с частотой Omega. Поглощение сменяется излучением и наоборот. В отличие от результатов, полученных ранее в параграфе Первая поправка другим методом, мы видим, что осцилляции происходят и в случае точного резонанса, когда omega_nl=omega, и что частота осцилляций зависит не только от отстройки. Она зависит также от мощности электромагнитного поля и от матричного элемента дипольного момента перехода. Максимальная амплитуда осцилляций достигается в случае точного резонанса. Дополнительно следует отметить, что полученное решение справедливо во всем временном интервале взаимодействия атома с электромагнитным полем.

Основные результаты иллюстрируются рисунками.

Рис. 1. Зависимость вероятности пребывания атома на верхнем уровне от времени для различных отстроек.
Рис. 2. Зависимость амплитуды осцилляций от величины относительной отстройки.
Рис. 3. Зависимость частоты осцилляций от величины относительной отстройки.

Таким образом можно сделать следующие выводы:

  • Вероятность нахождения свободного атома на одном из уровней при взаимодействии с монохроматическим электромагнитным полем носит осциляционный во времени характер.
  • Амплитуда колебаний максимальна при равенстве частоты излучения и собственной частоты перехода. В этом случае через промежутки времени pi/omega_0 квантовая система переходит с вероятностью 1 с одного уровня на другой. Частота осцилляций при этом минимальна и равна omega_0.
  • Как видно из формул и из приведенных графиков, эффект носит ярко выраженный резонансный характер. Причем “добротность” резонанса увеличивается с уменьшением мощности электромагнитной волны. Резонансный характер оправдывает применение модели двухуровнего атома.