БАЛАНСНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ПРАВИЛА СОСТАВЛЕНИЯ

Метод скоростных или балансных уравнений это простейший подход, который основан на уравнениях для скоростей изменения числа фотонов, заполняющих отдельные моды «резонатора», и скоростей изменения населенностей уровней энергии атомов. В этих уравнениях никоим образом не присутствуют характеристики поля и среды, свойственные уравнениям классической или квантовой электродинамики. Такие к примеру, как вектора электрической и магнитной напряженности поля и поляризации среды. Имеются только частицы электромагнитного поля, фотоны, и частицы вещества, атомы или молекулы. Они взаимодействуют друг с другом, обмениваясь энергией, а также могут терять или приобретать энергию из окружающей их среды. Все процессы носят вероятностный характер. Метод балансных уравнений оперирует количеством этих частиц и скоростями их изменения во времени.

Предпосылками успешности применения балансных уравнений является следующее.

  • Электромагнитное поле состоит из безмассовых частиц, называемых фотонами. Каждый фотон характеризуется частотой ν и энергией .
  • Внутренняя энергия каждого атома имеет дискретный набор значений (уровни энергии).
  • Взаимодействие атома с электромагнитным полем проявляется в виде излучения или поглощения атомом фотона. При этом внутренняя энергия атома согласно закону сохранения энергии либо увеличивается, либо уменьшается.
  • Взаимодействие поля происходит только с теми атомами, у которых изменение внутренней энергии E2 - E1 близко к величине . Здесь E2 и E1 - энергии верхнего и нижнего уровней. Чем больше разность по модулю |E2 - E1 - hν|, тем слабее взаимодействие. Когда атом меняет внутреннюю энергию, говорят, что происходит переход атома с уровня на уровень.
  • Имеется три вида взаимодействия: спонтанное и вынужденное излучения и поглощение (вынужденное).
  • Взаимодействие носит вероятностный характер и описывается соответствующими вероятностями осуществления взаимодействия атомов и фотонов.
  • Акт взаимодействия происходит мгновенно.
  • Атом может терять или приобретать энергию также за счет процессов релаксации и накачки.

Балансные уравнения позволяют анализировать энергетические характеристики лазера, то есть рассчитывать выходную мощность, распределение интенсивности поля в моде резонатора, учитывать многомодовый состав излучения лазера, переходные процессы, качественно и количественно описывать режим модуляции добротности, релаксационные колебания. Основной недостаток этого метода, - невозможность учета фазовых соотношений между состояниями атомов и фотонов, то есть невозможность расчета частоты колебаний электромагнитного поля.

Пример составления балансных уравнений.

При составлении балансных уравнений принимаются во внимание только те уровни энергии атома, которые участвуют в создании лазерной генерации, используются в процессе накачки и существенно влияют на релаксацию населенностей.

Рассмотрим способ составления балансных уравнений на простейшем примере, в котором фигурируют всего два уровня энергии.

Рис. 1. Два атомных уровня, взаимодействующие с фотонами и внешней средой.

Прежде чем формулировать правила составления балансных уравнений напомним некоторые понятия и термины, которые необходимо знать. В таблице, приведенной ниже, нижние правые индексы у величин обозначают номера уровней энергии атома, к которым эти величины относятся. Первый индекс относится к исходному состоянию, второй к конечному. Если индекс один, то данная величина есть интегральная характеристика, описывающая совокупность переходов с данного уровня на несколько других, номера которых явно не указаны.

Таблица 1. Физические величины, фигурирующие в балансных уравнениях.
Величина Определение Комментарий
Населенность i-го уровня Населенность это количество атомов на уровне в единице объема вещества.
Скорость накачки на i-й уровень Увеличение населенности верхнего уровня за счет накачки в единицу времени.
Плотность вероятности (скорость) стимулированного излучения или поглощения Относительная доля атомов, осуществляющих переходы в единицу времени, вызванные внешним излучением.
Плотность вероятности (скорость) переходов с потерей атомом энергии Относительная доля атомов, осуществляющих переходы в единицу времени, вызванных различными причинами, за исключением стимулированных переходов.
Время жизни или время распада уровня (что одно и то же) Время, в течение которого населенность уровня за счет данного процесса уменьшается в e раз. Времена жизни и скорости переходов связаны соотношениями: .
Время жизни уровня, определяемое спонтанными переходами (спонтанное время жизни) Верхний индекс sp есть сокращение от spontaneous, спонтанный.
Время жизни уровня, определяемое безызлучательными переходами Верхний индекс nr есть сокращение от non radiative. Бзызлучательные переходы обусловлены обменом энергией атома не с электромагнитным полем, а с другими видами движений. Например в кристалле обмен энергией иона с фононами, - колебаниями кристаллической решетки.
n Количество фотонов в моде, занимающей весь объем резонатора V Это вторая величина, наряду с населенностью уровней, которая подлежит определению путем решения балансных уравнений.
Плотность потока фотонов Количество фотонов, которые пересекают площадку единичной площади за единицу времениоро.
Сечение поглощения перехода Сечение поглощения есть эффективная поперечная площадь атома, который полностью перекрывает поток фотонов. Зависит от частоты ν.

Обратимся теперь к рис. 1. Две горизонтальные прямые символизируют два уровня энергии, которые имеют номера 1 и 2. Стрелки, направленные вверх и вниз, обозначают различные процессы (переходы), которые изменяют населенности уровней. Если стрелка направлена в сторону уровня, то соответствующий физический процесс увеличивает населенность этого уровня. В противном случае происходит уменьшение населенности.

Все переходы можно условно разделить на три группы.

  1. Накачка, создающая инверсную разность населенности.
  2. Стимулированные переходы, вероятность которых зависит от интенсивности окружающего атом излучения с частотой, близкой к .
  3. Различные переходы, определяющие время жизни уровней τ свободного атома и приводящие к релаксации среды при снятии накачки. На рисунке некоторые релаксационные переходы объединены в результирующие интегральные процессы с помощью обхвата их замкнутыми кривыми. Так три перехода, определяющие время жизни верхнего уровня с имитируются одним переходом, определяющим время τ2.

Составим балансные уравнения для обоих уровней. Левая часть любого балансного уравнения есть скорость изменения его населенности. Правая часть включает скорости пополнения и оттока населенности за счет всех процессов, показанных стрелками на рисунке. Учитывая вышесказанное, искомые балансные уравнения будут иметь вид:

(1)
(2)