ОТКРЫТЫЕ РЕЗОНАТОРЫ

Резонатор является неотъемлемой частью лазера и выполняет следующие функции:

  • Осуществляет положительную обратную связь для превращения усилителя в генератор, то есть для получения незатухающих колебаний;
  • Влияет на частоту излучения лазера;
  • Ответственен за накопление энергии электромагнитного поля, часть которого выводится в виде полезного излучения;
  • Во многом определяет различные характеристики излучения: мощность, стабильность, когерентность, монохроматичность, расходимость.

В настоящее время в большинстве лазеров используются так называемые открытые резонаторы. Закрытые, то есть объемные резонаторы, которые с успехом применяются в микроволновом диапазоне, на более коротких волнах, где в роли генераторов господствуют лазеры, применяться не могут. Это обусловлено следующими обстоятельствами.

  1. Лазеры излучают на относительно коротких длинах волн (λ < 0,1 мм).
  2. Плотность мод в обычном закрытом резонаторе растет с частотой как
    ,
    (1)
    где V - объем резонатора.
    Если зарисовать как распределяются моды по частоте, то качественная картина будет выглядеть примерно как на следующем рисунке.
    .
    Верхняя часть рисунка показывает как уплотняется расположение мод, а нижняя то же самое, но в виде графика. Если учесть, что каждый резонанс имеет свою ширину, то начиная с какого-то момента линии начнут перекрываться и резонатор начинает терять свои резонансные свойства. Чтобы избежать этого необходимо разрядить спектр. Одной из возможностей согласно формуле (1) является уменьшение объема резонатора, но это приводит к еще большим проблемам.
  3. Уменьшение объема ведет к падению запасенной и, следовательно, излучаемой мощности;
  4. Уменьшается добротность резонатора, так как
    (2)
    Здесь предполагается, что запасенная энергия определяется объемом V, а потери - омическими потерями на стенках, которые пропорциональны их площади S. L - это линейные размеры резонатора. Формула (2) показывает, что добротность падает с линейными размерами.
  5. Работа в одномодовом режиме, то есть режиме, который позволяет получить наиболее качественное лазерное излучение, возможна, если L сравнимо по величине с λ, что может быть неосуществимо с технологической точки зрения для малых длин волн.

В силу этого в лазерах используются так называемые открытые резонаторы. Часть стенок у них отсутствует. Обычно, такой резонатор состоит из двух зеркал, расположенных в торцах усиливающей среды друг напротив друга (см. рис.).



Спектр таких резонаторов существенно разрежен, так как большая часть мод, присущих закрытым резонаторам, быстро высвечивается наружу. Остаются только такие моды, которые распространяются между зеркалами вдоль резонатора.

Общие характеристики открытых резонаторов и особенности их использования в лазерах

Открытый резонатор, как было сказано выше, чаще всего состоит из двух зеркал, размещенных друг напротив друга. В оптике такая конфигурация называется интерферометром Фабри – Перо.

Волна распространяется вдоль оси резонатора и резонирует на длинах волн, для которых примерно выполняется соотношение.

, или
(3)

Здесь L расстояние между зеркалами (длина резонатора), λq и νq длина волны и частота поля, n - коэффициент преломления среды.

Резонирует означает, что фаза волны при круговом обходе резонатора принимает исходное значение, то есть изменяется строго на 2πq, где q целое число, называемое продольным числом. Обычно оно имеет величину порядка 104 – 106.

Моды резонатора, различающиеся числом q, называются различными продольными модами.

Частотный интервал между соседними продольными модами равен .


Продольные моды

Наряду с продольными модами существует такое понятие, как поперечные моды. Это понятие связано с амплитудно-фазовым распределением поля в поперечном сечении распространяющейся между зеркалами волны, которое чаще всего регистрируется на поверхности зеркала или вблизи зеркала. На рисунках ниже показаны рассчитанные изображения амплитудных распределений различных поперечных мод в резонаторах с круглыми и прямоугольными зеркалами (Wikipedia. Transverse mode).


Более яркие области соответствуют большей интенсивности поля. Поперечные моды принято обозначать аббревиатурой TEMmn, где m и n в случае прямоугольных зеркал есть количество переходов через линии нулевого поля при движении вдоль направлений, параллельных сторонам зеркала. Для круглых зеркал первый индекс это количество вариаций поля при движения от центра заркала к его краю, а второй индекс число радиальных линий нулевого поля, которое определяет число вариаций поля при обходе по какой-либо окружности. На приведенных рисунках цифры под распределениями и есть индексы m и n.

Часто аббревиатуру TEM используют для обозначения всей моды, добавляя третий продольный индекс q: TEMmnq.

Каждая мода обладает своей резонансной частотой и своей добротностью (потерями). Поперечные моды, принадлежащие одним и тем же продольным модам, на частотной шкале группируются в серии близко расположенных резонансов. Типичный спектр открытого резонатора с круглыми зеркалами представлен на следующем рисунке.


Размер каждой линии пропорционален отклику данного резонанса на действие внешней электромагнитной волны. Более наглядно свойства спектра открытого резонатора демонстрирует следующий рисунок.


Здесь наряду с интенсивностью каждой резонансной моды показано, что ширина линий у разных поперечных мод неодинаковая, что дополнительно свидетельствует о разных потерях энергии в разных модах. Ширина линии на половине высоты и потери (в данном случае за период колебаний) связаны соотношением

(4)

E в (4) это энергия поля в моде резонатора.

Неодинаковость потерь различных мод в основном объясняется так называемыми дифракционными потерями. Дифракционные потери это потери на излучение через открытые боковые поверхности резонатора. Они тем больше, чем больше поперечные размеры моды, которые возрастают с величиной поперечных индексов (см. вышеприведенный рисунок поперечных распределений амплитуды поля).

Наименьший размер пятна на зеркале, а значит и дифракционные потери, имеет мода TEM00. Эта мода играет исключительно важную роль. Она называется основной, фундаментальной или дифракционно ограниченной.

С точки зрения лазерной физики важны следующие характеристики открытых резонаторов.

  • Потери мод;
  • Количество мод, попадающих в контур усиления лазерной среды;
  • Поперечное распределение поля в моде;
  • Объем моды внутри резонатора;
  • Стабильность характеристик при изменении геометрических параметров резонатара с изменением температуры и различных механических деформаций.

Потери в резонаторе могут быть охарактеризованы разными величинами. Перечислим их.

  • - относительные потери за время прохода волны от одного зеркала до другого, равное примерно , или за круговой проход за время . Выбор варианта зависит от конфигурации резонатора.
  • - относительные потери за единицу времени. Эта величина называется временем жизни фотона в резонаторе. Она входит в уравнение, описывающее диссипацию энергии:
    (5)

    Решение этого уравнения имеет вид:

    (6)
  • Q - добротность резонатора. Это обратные относительные потери за период колебаний умноженные на 2pi.
    (7)

Связь между этими параметрами в случае относительной малости и , то есть для интервалов времен, когда экспоненту в (6) можно аппроксимировать линейной зависимостью, следующая:

(8)

Потери в лазерной среде внутри резонатора могут быть разделены на нежелательные, то есть вредные и, как это ни странно звучит, полезные. Потери, относящиеся к первой группе, следует минимизировать. Это тепловые потери, потери на спонтанное излучение, рассеяние на неоднородностях среды, неидеальность зеркал, различные безызлучательные переходы, в результате которых энергия возбужденных атомов преобразуется в другие виды энергий не связанных с индуцированным излучением в лазерную моду. К примеру, в твердотельных лазерах в энергию фононов кристаллической решетки. Полезные потери это в первую очередь выходное излучение лазера, которые называются потерями на связь.

Есть один вид потерь, который играет двоякую роль. Это дифракционные потери, которые могут быть как полезными так и вредными в зависимости от обстоятельств. Но об этом несколько ниже.

Количество мод, попадающих в контур усиления лазерной среды, определяет будет ли лазер работать в многомодовом или одномодовом режиме, а для импульсных лазеров с синхронизацией мод, параметры импульса лазерного излучения. На следующем рисунке поясняется возникновение многомодовой генерации на нескольких продольных модах.


Объем моды, а вместе с ним и дифракционные потери, зависят от формы поверхности зеркал и от их относительного размера, измеряемого числом Френеля N:

,
(9)

где a - радиус зеркал. Чаще всего в газовых и твердотельных лазерах используются круглые зеркала, поэтому дальнейшее изложение касается зеркал только такой формы.

Гауссовый пучок

Для того чтобы теоретически понять как формируются и какими свойствами обладают моды открытого резонатора необходимо решить уравнения Максвелла с соответствующими граничными условиями на зеркалах. Существует несколько методов расчета распределения полей в открытых резонаторах и их потерь. Мы кратко остановимся на методе, который называется параксиальным приближением.

Для однородной среды без зарядов и токов уравнения Максвелла сводятся к волновому уранению (уравнению Гельмгольца) для одной скалярной величины - компоненте напряженности электромагнитного поля E:

,
(10)

где - модуль волнового вектора.

Это уравнение имеет неограниченное количество независимых решений. Наиболее известные это решения в виде плоских волн или сферических волн. Однако большинство из них никак не подходят для рассмотрения применительно к открытым резонаторам, так как в них энергия поля в виде волн движется по всему пространству, в то время как поле в резонаторе должно быть практически локализовано в малом объеме и распространяться не во всех направлениях, а только между зеркалами.

В теории открытых резонаторов вместо того, чтобы заняться сортировкой точных решений на подходящие и не подходящие, поступают по другому. Сначала преобразуют (упрощают) уравнение (10), путем использования физически обоснованных приближений, к виду, который давал бы только поля открытого резонатора, и только затем его решают.

Не вдаваясь в подробности такого преобразования приведем конечную форму упрощенного уравнения, которое называется параксиальным приближением к волновому уравнению.

(11)

Отметим, что здесь предполагается, что поле быстро изменяется (распространяется) только вдоль оси z, так что общее решение уравнения (10) ищется в виде

(12)

, которое есть решение уравнения (11), предполагается медленно меняющейся функцией от координат и играет роль амплитуды поля.

Решениями уравнения (12) являются так называемые гауссовые пучки с различными поперечными, относительно оси z, распределениями поля. У гауссового пучка самого низшего порядка поперечное распределение пропорционально множителю:

,
(13)

который максимален на оси z и спадает в поперечном направлении с увеличением

Гауссовый пучок имеет несколько характерных областей, которые поясняются рисунком и последующими формулами.


На рисунке поле в пучке распространяется вдоль оси z и в любом месте имеет в поперечном сечении распределение амплитуды поля, описывающееся формулой (13). Графически для наглядности оно изображено на краях рисунка. Все геометрические параметры гауссового пучка однозначно определяются двумя величинами, λ - длиной волны и, так называемым, радиусом перетяжки . Перетяжка это самое узкое место пучка и его радиус определяется границей, где напряженность поля в e раз меньше чем в центре .

Пучок имеет следующие реперные точки и параметры.

- так называемая рэлеевская длина. Это длина, на которой пучок по сравнению с перетяжкой расширяется в раза и где волновой фронт почти плоский.

- радиус пучка в любой точке.

- радиус кривизны волнового фронта. На расстояниях волновой фронт становится сферическим.

- половинный угол расходимости пучка. На больших расстояниях радиус пучка растет линейно с удалением и ограничен расширяющимся конусом, асимптотически уходящим на бесконечность. Поэтому можно ввести понятие такого угла.

Гауссовый пучок как мода открытого резонатора

Гауссовый пучок становится модой открытого резонатора, если ограничить его с двух сторон зеркалами, кривизна поверхности которых совпадает в месте их расположения с кривизной волнового фронта пучка. Гауссовый пучок обратим, то есть имеется два решения, представляющих собой две бегущие навстречу друг другу волны. При наличии отражающих зеркал эти две волны образуют стоячую волну, электрическая напряженность поля у которой на идеально проводящей поверхности зеркал равна 0 (вернее, тангенциальная составляющая напряженности).

Сопряжение зеркал открытого резонатора и поверхностей равной фазы поля демонстрируется на следующем рисунке.


Используя вышеприведенные формулы можно легко определить параметры гауссового пучка как моды открытого резонатора с любыми круглыми зеркалами (однако достаточно большими по размерам, при которых поле на краях зеркал практически спадает до нуля). К примеру, достаточно задать радиусы кривизны зеркал R1, R2 и длину резонатора L с тем, чтобы однозначно выяснить свойства гауссовой моды тоакго резонатора. Тогда легко строится система уравнений относительно трех неизвестных: координат z1 и z2, определяющих местоположение зеркал, и рэлеевской длины z0.

Если обозначить через и кривизну волнового фронта в точках z1 и z2 на оси резонатора, которая совпадает с кривизной поверхности зеркал R1 и R2, то тогда система уравнений будет выглядеть следующим образом:

(14)
(15)
(16)

Решения этой системы имеют вид:

(17)
(18)
(19)

Определенная таким образом рэлеевская длина вместе с известной длиной волны поля позволяет найти радиус перетяжки, угол расходимости, диаметр пучка на зеркалах и т.д.

Кроме основной моды параксиальное волновое уравнение дает в качестве решений более высокие гауссовые моды с другими поперечными распределениями поля. Вид возможных поперечных мод был ранее изображен на одном из рисунков. Одновременно найденные решения дают возможность рассчитать частоты собственных колебаний для резонаторов с круглыми зеркалами различных геометрий.

(20)

Здесь q это продольный индекс, n - радиальный и m - угловой. gi безразмерный параметр, связанный с радиусом кривизны i-го зеркала:

(21)

Дифракционные потери можно рассчитать только численными методами. На следующем рисунке приведены зависимости дифракционных потерь двух самых низших мод от геометрических параметров резонатора и длины волны.


Исследуя эти графики прежде всего следует отметить, что потери зависят не от длины резонатора L, радиуса зеркал a, длины волны λ порознь, а от некоторой их комбинации, называемой числом Френеля . С ростом N потери быстро падают. На первом рисунке показаны зависимости дифракционных потерь для основной моды TEM00. Параметром кривых является относительный радиус кривизны зеркал g. На втором рисунке к этим кривым добавлены для сравнения зависимости дифракционных потерь ближайшей к TEM00 моде моды TEM01. Видно, что при любых параметрах резонатора основная мода всегда имеет меньшие потери.

Селекция мод открытого резонатора

Во многих приложениях необходимы лазеры, работающие в одномодовом режиме, то есть излучающие на одной длине волны. К примеру, в голографии и интерферометрии требуются излучения со значительными временами когерентности, а в спектроскопии узкополосный сигнал, с помощью которого исследуются переходы в атомах и молекулах. Задача полученя высоко монохроматического лазерного излучения в основном сводится к селекции поперечных и продольных мод, в результате чего достигается одномодовый режим лазера.

Генерация на одной поперечной моде достигается путем использования круговой диафрагмы, помещенной внутрь резонатора, как это показано на следующем рисунке.


Метод использует тот факт, что высшие поперечные моды имеют большую ширину, чем основная мода TEM00. Диафрагма увеличивает потери для этих высших мод, предотвращая их генерацию. Она также увеличивает потери и для основной моды TEM00. Однако при правильном ее подборе не до такой степени, чтобы заглушить генерацию лазера.

Лекция не закончена