Задачи и вопросы по курсу "Квантовая электроника"

Разное

Частота перехода между заданными двумя уровнями энергии лежит в середине видимого диапазона. Рассчитать отношение населенностей этих уровней в состоянии термодинамического равновесия при комнатной температуре. (Svelto).
Ответ: 6 x 10^-38.

Видимый диапазон соответствует длинам волн 0,38 - 0,74 мкм. Середина диапазона по длинам волн равна λ =0,56 мкм.
Отношение населенностей определяется распределением Больцмана .
Рассчитать доплеровскую ширину линии излучения а) CO₂ лазера при температуре 400K на волне около 10 мкм; б) гелий-неонового лазера при температуре 400K на волне 0,63 мкм. (Карлов).
Ответ: а) 60 МГц, б) 1,35 ГГц.
Сила однородно уширенной линии определяется как
,
где ν₀ - центральная частота перехода.
Вычислить приближенное значение интеграла в предположении, что .
Ответ: .
Найти спектральную плотность широкополосного излучения, при которой скорость стимулированных переходов сравняется со скоростью спонтанных переходов для длин волн а) λ = 1мкм, б) λ = 1мм. Определить для этих случаев интесивность электромагнитной волны, если ширина линии равна 100 МГц.
Ответ: а) ρ = 1,66 10^-14 Дж м^-3 с^-1, I = 50 мВт/см². б) ρ = 1,66 10^-23 Дж м^-3 с^-1, I = 5 10^-11 Вт/см².

Монохроматичность, когерентность, расходимость, интенсивность

Лазер, работающий на длине волны 1030 нм, имеет выходной диаметр луча D = 1,5 мм и половинный угол расходимости конического луча 1,6°. Определите размер области пространственной когерентности луча на выходе из лазера и его фактор качества M². (Svelto).
Ответ: .

Половинный угол расходимости и размер (диаметр) области когерентности связаны соотншениим , а M² можно записать как .
Полупроводниковый лазер работает на длине волны 790 нм. Длина когерентности излучения составляет 1 мм. Определить ширину линии в частотных единицах и в единицах длины волны.
Ответ: Δν = 3,3 х 10¹¹ Гц, Δλ = 0,624 нм.

Ширина линии в частотных единицах Гц.
Ширина линии, выраженная в длинах волн, получается в результате вычисления дифференциала от выражения λ = c ν:
нм.
Излучение Nd:YAG лазера, работающего на длине волны 1,064 мкм, имеет дифракционно ограниченную расходимость. Выходной диаметр лазерного пучка равен D = 0,8 мм. Лазер находится на поверхности Земли и направлен на самолет, летящий на высоте H = 9000 м. Определить диаметр луча D_H, достигшего самолет. (Quimby).
Ответ: D_H = 15,2 м.

Дифракционно ограниченную расходимость имеет только Гауссов пучок. Для него половинный угол расходимости θ связан с радиусом перетяжки w₀ (в данном случае с радиусом лазерного пучка на выходе) соотношением .
Отсюда
м.
При получении голографического изображения предмета лазерный луч расщепляется на два. Один до фотографической пластинки проходит путь 33,6 см, другой 32,9 см. Какая должна быть максимальная ширина лазерного излучения, если в качестве источника используется HeNe лазер с длиной волны 632,8 нм? Выразить ширину в длинах волн.
Ответ: Δλ = 0,057 нм.

Для того, чтобы на фотопластинке образовывалась интерференционная картина от сложения двух лучей, необходимо, чтобы длина когерентности L_c была не меньше разности двух путей.
Поэтому
нм.
Рассчитать яркость:
1. Светодиода, излучающего мощность 0,1 мВт в конус с половинным телесным углом 60°, с излучающей квадратной поверхностью со стороной 0,2 мм (предполагается однородное распределение внутри конуса).
2. He-Ne лазера, излучающего 1 мВт света на длине волны 633 нм. (Считать излучение дифракционно ограниченным).
3. Солнца, которое излучает 4 x 10²⁶ Вт с полной поверхности и имеющего радиус 7 x 10⁸ м.
Ответ: 800; 2,5 x 10⁹; 5,1 x 10⁶ Вт м^-2 ср^-1.
1. Телесный угол для конуса с половинным углом раскрыва в 60° равен , что приводит к яркости светодиода
  Вт м^-2 ср^-1.
2. Для лазера с дифракционно ограниченным излучением
  Вт м^-2 ср^-1.
3. Солнце излучает свою мощность однородно в телесный угол 4π. Поэтому
  Вт м^-2 ср^-1.
Решить уравнение для одномерного затухающего гармонического осциллятора

в предположении, что . Считать, что колебания начались в момент времени t = 0.
Найти спектральный состав колебаний используя Фурье преобразование
,
и далее найти .
Ответ: .

С точностью до членов порядка общее решение имеет вид

Наибольшие спектральные составляющие получаются от первого члена для частот , поэтому при вычислении спектрального состава вторым членом пренебрегаем.

И .

Лазер и лазерный усилитель. Непрерывный режим работы

Лазерный рубиновый стержень длиной 15 см усиливает слабый сигнал в g₁₅ = 12 раз. Какое ненасыщенное усиление g₂₀ будет иметь такой же стержень длиной 20 см? (Saleh).
Ответ: 27,5.

Учитывая экспоненциальное возрастание усиленного сигнала вдоль кристалла значительной длины, , получаем
.
Лазер на неодимовом стекле, работающий на длине волны λ =1,06 мкм, имеет сечение перехода $sigma=3,3 10^{-19}$ см² и время жизни иoна в возбужденном состоянии τ = 0,23 мс. Вычислить интенсивность насыщения перехода .
Ответ: = 2468 Вт/см².

Неодимовый лазер функционирует согласно четырехуровневой схеме. Для такого лазера интенсивность насыщения рассчитывается по формуле
Резонатор лазера, заполненный активной средой, имеет длину d=15 см и два зеркала с коэффициентами отражения и . Сечение излучения рабочего переходя лазера $sigma=3,5 10^{-19}$ см². Найти разность населенностей рабочих уровней на пороге генерации.
Ответ: $Delt N=4,9 10^{16}$ см^-3.

Пороговое усиление должно быть в точности равно потерям в лазере, то есть , где и усиление и потери лазера, пересчитанные на единицу длины активной среды. При относительно малых потерях см^-1.
Отсюда см^-3.
Найти потери на связь , при которых выходная интенсивность лазерного излучения будет максимальной. Общее выражение для интенсивности следующее:

Найти, также, выражение для максимальной интенсивности.
а) Рассмотрим рубиновый кристалл с двумя энергетическими уровнями с разностью энергий, соответствующей излучению с длиной волны в свободном пространстве λ = 694.3 нм. Линия перехода имеет лоренцевскую форму с шириной 330 ГГц. Спонтанное время жизни 3 мс и коэффициент преломления рубина 1,76. Определить разность населенностей и коэффициент затухания в центре линии в состоянии термодинамического равновесия при T = 300K принимая больцмановское распределение, если .
б) Какая должна быть инверсная разность населенностей, чтобы на центральной частоте коэффициент усиления был равен 0,5 см^-1.
в) Какой длины должен быть кристалл чтобы обеспечить при коэффициенте усиления 0,5 см^-1 полное усиление равное 4. (Saleh).
Аргоновый ионный лазер, работающий на длине волны 488 нм, с длиной активной среды 0,3 м, имеет плотность заселенности верхнего уровня усиливающего перехода 1,0х10¹³ см^-3 и плотность заселенности нижнего уровня 4,0х10¹² см^-3. Если I₀ есть интенсивность входного сигнала малой интенсивности, проходящего через усиливающую среду, то какое будет отношение I/I₀, где I интенсивность луча на выходе, прошедшего среду? Сечение поглощения усиливающего перехода σ = 2,5х10^-14 см².
Ответ: .

Усиление слабого сигнала на заданной длине рассчитывается по формуле .
Найти интенсивность насыщения активной среды HeNe лазера, работающего на длине волны λ = 632,8 нм, если сечение рабочего перехода σ = 10^-13см^-2 и время жизни верхнего уровня τ = 0,7 мкс.
Ответ: Вт/см².

Интенсивность насыщения определяется как
Вт/см².
Лазерная трубка длиной 27,5 см и диаметром 5 мм, заполненная газовой смесью HeNe, имеет измеренное ненасыщенное усиление 0,135 м^-1. Коэффициенты отражения зеркал равны и , соответственно. Поглощение лазерной среды составляет 0,01 м^-1. Экспериментально определенная интенсивность насыщения равна 4,48 Вт/см². Определить выходную мощность лазера.
Ответ: 16,7 мВт/см².

Выходную мощность можно определить с помощью выражения
мВт/см².
Рубиновый лазер излучает на длине волны 694,3 нм. Длина активной среды – L = 20 см. Внутренние потери составляют α_s = 0,05 м^-1. Одно зеркало имеет коэффициент отражения R₁ = 99,9%, а другое R₂ = 95%. Спонтанное время жизни верхнего уровня равно t_sp = 3 мс, ширина лини Δν = 60 ГГц, сечение поглощения σ₀ = 2x10^-20 см², коэффициент преломления среды n = 1,76. Найти пороговую разность населенностей двумя способами: используя заданное значение сечения поглощения и вычисленное по длине волны, спонтанному времени жизни и ширине линии.
Ответ: 9 10¹⁶ см^-3.

Пороговая разность населенностей определяется из условия равенства ненасыщенного коэффициента усиления коэффициенту потерь. Полные потери складываются из потерь на зеркалах и внутренних потерь
см^-1.
Используя заданное значение сечения поглощения получаем
см^-3.
Найдем ΔN_t вторым способом.
см².
см^-3.
Рассчитать коэффициент усиления и интенсивность насыщения для кристалла рубина со следующими параметрами: инверсная населенность лазерного перехода ΔN = 5 10¹⁷ см^-3, спонтанное время жизни верхнего уровня равно t_sp = 3 мс, длина волны излучения λ = 694,3 нм, коэффициент преломления среды n = 1,76, ширина лини Δν = 60 ГГц.
Ответ: γ = 0,11 см^-1, I_s = 433 Вт/см².

Коэффициент усиления определяется выражением .
Сечение перехода
см²,
поэтому см^-1.
Интенсивность насыщения Вт/см².
Оптическое волокно, легированное ионами Er, с уровнем легирования 8 x 10¹⁸ ионов/см³, накачивается светом с длиной волны 1480 нм и излучает на волне 1560 нм. Поперечное сечение поглощения равно 0,15 x 10^-20 см², а излучения 0,6 x 10^-20 см². Определить
1. Коэффициент поглощения на длине волны 1480 нм.
2. Долю света, поглощенную волокном длиной 2 м.
3. При условии, что практически все ионы Er возбуждены, определить коэффициент усиления на длине волны 1560 нм.
4. Рассчитать чистое усиление волокна длиной 2 м на длине волны 1560 нм.
(Quimby).
Ответ: a. 0,012 см^-1, b. 0,91, c. 0,048 см^-1, d. 14700 раз.
1. Коэффициент поглощения см^-1.
2. Доля света, поглощенная волокном: .
3. Коэффициент усиления см^-1.
4. Усиление сигнала на длине 2м: раз.
Газовый лазер длиной 10 см, работающий в одномодовом режиме, излучает на длине волны 600 нм. Коэффициенты отражения зеркал R₁ = 99% и R₂ = 100%. Коэффициент преломления лазерной среды n = 1 и эффективное поперечное сечение лазерного пучка 1 мм². Коэффициент усиления малого сигнала составляет γ₀ = 0,1 см^-1 и насыщающая плотность потока фотонов фотон см^-2 c^-1. Определить
1. Коэффициенты распределенных потерь α_m1 и α_m2, связанные с каждым из зеркал. В предположении α_s = 0 определить потери в резонаторе α_r.
2. Время жизни фотона t_p.
3. Выходную плотность потока фотонов $phi_{out}$ и выходную мощность $P_{out}$ .
(Saleh).
Ответ: a. 5 x 10^-4 см^-1, b. 0,67 0^-7, c. 1,4 x 10¹⁵ фотон см^-2 c^-1, 0,46 x 10^-3 Вт.
1. Коэффициент распределенных потерь зеркала равен . Коэффициент распределенных потерь второго зеркала равен . Коэффициент распределенных потерь первого зеркала и полный коэффициент потерь резонатора равны см^-1.
2. Время жизни фотона: с.
3. Для расчета выходных характеристик лазерного излучения необходимо знать плотность потока фотонов внутри резонатора. Для ее определения используется тот факт, что коэффициент усиления должен быть равен коэффициенту потерь. Откуда из формулы для насыщенного коэффициента усиления следует фотон см^-2 c^-1. Выходная плотность потока фотонов фотон см^-2 c^-1. Выходная мощность $P_{out}=0,46 10<sup>-4</sup>$ Вт.
Рассмотрим небольшой импульсный ртутный лазер, с длиной трубки 0,1 м и коэффициентом усиления 50% на метр. (Усиление в данном лазере чрезвычайно большое, немного газовых лазеров имеют такое усиление). Предположим, что полностью отражающее зеркало имеет потери 0,1%. Окна Брюстера с двух сторон лазерной трубки, каждое, имеют потери 0,8%. Сама трубка имеет затухание 0,1 м^-1. Используя эти параметры рассчитать максимальное пропускание выходного зеркала, в процентах, когда генерация еще возможна. (Csele, Example 4.6.1).

Ответ: 4,7%.
Оценить насколько больше . Задача еще не полностью сформулирована.
Вывести выражение для инверсной разности населенностей для квазитрехуровневой системы для стационарного случая.

При выводе считать, что и .

В данной задаче неизвестными являются населенности трех уровней: . Для того, чтобы найти три неизвестных, необходимо составить систему из трех линейно независимых уравнений. Этими уравнениями могут быть следующие:

Отметим следующее. Каждое балансное уравнение, описывающее изменение населенности конкретного уровня, должно содержать столько членов в правой части, сколько стрелок подходит и уходит от уровня. Если стрелка уходит, то член берется со знаком имнус, в противном случае со знаком плюс. Далее, каждое балансное уравнение приравнивается к 0. Это следствие стационарности режима, о чем сказано в условии. Стационарность это неизменность населенности во времени. Равенство 0 производных от населенности по времени сводит дифференциальные уравнения к алгебраическим. И последнее. Можно было бы добавить балансное уравнение для нулевого уровня, но оно линейно зависимо от двух включенных, так как

Систему линейных алгебраических уравнений будем решать методом последовательного исключения неизвестных. Выразим из последнего уравнения N₁ через N₂ и исключим N₀ из первых двух.

Теперь, исключая их этих двух уравнений N₁ получаем выражение для N₂:

И используя связь N₁ и N₂ выводим выражение для N₁:

И окончательно

Лазер и лазерный усилитель. Импульсный режим работы

Твердотельный лазер посылает импульсы длительностью 0,5 мс и энергией 5 мДж.
1. Какова будет импульсная мощность?
2. Как возрастет импульсная мощность при укорочении длительности импульсов до 5 нс?
3. Какова величина средней мощности при частоте следования импульсов 100 Гц?
(Айхлер).
Ответ: a. 10 Вт, b. в 10⁶ раз, c. 0,5 Вт.
1. Мощность импульса Вт.
2. Мощность увеличится в раз.
3. Величина средней мощности лазера Вт.

Nd:YAG лазер работает в режиме модуляции добротности на длине волны 1064 нм и излучает импульсы энергией 100 мДж и длительностью 5 нс. Диаметр пучка внутри лазерной кюветы 4 мм. Определить:

Выходную мощность импульса.
Количество фотонов в одном лазерном импульсе.
В предположении, что выходное зеркало имеет пропускание 70%, определить скорость стимулированного излучения в максимуме выходного импульса. Во сколько раз она больше скорости спонтанного излучения?

(Quimby).

Ответ: a. 2 x 10⁷ Вт, b. 5,4 x 10¹⁷, c. 0,68 x 10⁹ с^-1.

Мощность импульса Вт.
Количество фотонов в импульсе
.

Скорость стимулированного излучения

Скорость индуцированного излучения
Плотность выходного потока фотонов
Выходная мощность

с^-1

Скорость спонтанного излучения 4,3 x 10³с^-1. Поэтому скороть вынужденных переходов в 160000 раз больше скорости спонтанных переходов.

Найти наименьшую длительность импульса и количество одновременно генерирующих продольных мод для
1. волоконно оптического лазера длиной 5 м, с длиной волны в свободном пространстве 1530 нм, имеющем ширину полосы усиления 30 нм и коэффициент преломления среды 1,5;
2. аргонового лазера длиной 1 м, с длиной волны в свободном пространстве 514,5 нм, имеющем ширину полосы усиления 8 ГГц и коэффициент преломления среды 1;
работающих в режиме синхронизации мод. (Quimby).
Ответ: a. τ_p = 260 фс, N = 192000, b. τ_p = 125 пс, N = 53.
1. Волоконный лазер.
  - Ширина полосы усиления в частотных единицах:
  - и длительность импульса:
  - Расстояние между соседними продольными модами равно:
  - что приводит к количеству одновременно генерирующих продольных мод, равному:
2. Аргоновый лазер.
  - Для аргонового лазера длительность импульса:
  - и расстояние между соседними продольными модами и количество продольных мод равно:
Nd:YAG лазер работает в режиме Q-модуляции на длине волны 1064 нм и излучает импульсы с пиковой мощностью 100 кВт. Определить значение инверсной разности населенностей ионов неодима, если лазерный стержень имеет длину 50 мм и диаметр 5 мм, коэффициент преломления 1,82, длина резонатора составляет 50 см, коэффициент пропускания зеркал 100 и 90%. Лазер работает по четырехуровневой системе. (Csele).
Ответ: .

Для четырехуровневой системы оценка максимальной мощности выходного импульса дается формулой
$P_{out}=...$ ,
где - время жизни фотона и V - объем активной среды (стержня).
Величина обратная времени жизни фотона есть относительные потери энергии электромагнитного поля внутри лазера за единицу впемени. Если потери обусловлены только пропусканием одного из зеркал, то
,
где есть время кругового обхода:

Здесь L - длина резонатора, l - длина стержня, n - коэффициент преломления среды.
Объем цилиндрического стержня рассчитывается по известной формуле

Окончательное выражение для получается из первой приведенной формулы как

Подставляя численные значения исходных величин получаем

Резонатор

Найти время жизни фотона для пустого резонатора длиной 30см и с коэффициентом пропускания одного из зеркал T₁ =20%.
Ответ: 1,24 10^-9 c.

Если известно время фотона , то относительные потери энергии резонатора за определенное время t можно рассчитать по формуле . Потери на пропускание (на связь) зеркала резонатора рассчитываются за время кругового прохода, которое для незаполненного резонатора равно . Поэтому приходим к выражению . Откуда с.
Найти радиус перетяжки моды TEM₀₀ для CO₂ лазера, работающего на длине волны 10,6 мкм, предполгая что мода представляет собой гауссовый пучок. Длина разрядной трубки 1 м и используется симметричный конфокальный резонатор, то есть радиусы кривизны зеркал равны 0,5 м.
Ответ: 1,3 мм.

Форма и ширина линий усиления и поглощения

Рассчитать доплеровские ширины линий
1. CO₂ лазера, работающего на длине волны 10 мкм, с температурой газа 400K.
2. HeNe лазера, излучающего на длине волны 0,63 мкм, с температурой газа 400K.
(Карлов).
Ответ: a. 60 МГц, b. 1,5 ГГц.

Формула для расчета ширины доплеровски уширенной линии имеет вид: . Масса CO₂ в атомных единицах массы равна 44. Масса атома неона 20.
Показать, что для однородно уширенной линии, то есть имеющей лоренцевскую форму с шириной Δν, реальная ширина с учетом насыщения будет определяться выражением

(Saleh).

Коэффициент усиления, зависимость которого от частоты определяет форму линии излучения, может быть записан как .
В случае насыщения перехода инверсная разность населенности есть
,
так что насыщенный коэффициент усиления имеет вид
.
В этом выражении единственной величиной, которая зависит от частоты, является сечение поглощения:
.
Подставляя σ в γ и производя небольшие преобразования, получаем
.
Теперь, чтобы получить окончательный результат, осталось в заменателе внести последнюю скобку под знак возведения в квадрат и обозначить

Нелинейная оптика

Свет от Nd:YAG лазера с длиной волны в свободном простанстве 1064 нм пропускается с целью получения излучения на удвоенной частоте с λ = 532 нм через кристалл LiNbO₃. Коэффициент преломления на длине 1064 нм равен 2,234, а на удвоенной частоте 2,325. Определить оптимальную длину кристалла, при которой обеспечивается фазовый синхронизм. (Quimby).
Ответ: L_c = 2,92 мкм.

Оптимальная длина определяется как
мкм,
где λ₀ это длина волны в свободном пространстве, а .

ЭПР, ЯМР, парамагнитный усилитель

В ЭПР спектрометре частота резонансного поглощения энергии ν составляет 4 x 10¹⁰ Гц. Принимая множитель Ланде g = 2, определить индукцию постоянного магнитного поля, при которой будет наблюдаться парамагнитный резонанс. (Интернет).
Ответ: B = 1,43 Тл.

Резонанс, то есть поглощение, возникает, когда энергия расщепления уровней будет равна энергии магнитного момента атома в приложенном постоянном магнитном поле, то есть
,
где $mu_{beta}$ магнетон Бора, B индукция магнитного поля. Выражая B получаем
Тл.
Упрощенный спиновой гамильтониан нижних уровней иона Cr³⁺ в рубине имеет вид:

Здесь g = 1,985 - фактор Ланде, - магнетон Бора, D - постоянная кристаллического ращепления, равная -0,3831 см^-1, B - индукция постоянного магнитного поля, S_z, S_x - компоненты эффективного спина. Ось z направлена вдоль оси симметрии крисалла, ось x перпендикулярно ей.
Если ввести обозначение , а также определить угол θ между осью симметрии и направлением вектора индукции магнитного поля, то гамильтониан можно переписать в более простом виде:

Вывести выражения для уровней энергии (собственных значений гамильтониана) для частных случаев угла θ = 0 и 54,7356^o. При выводе принять во внимание, что для иона Cr³⁺ значение квантового числа эффективного спина равно S=3/2, и что для такого числа матрицы операторов компонент спина, входящих в выражение для спинового гамильтониана, имеют вид:

Для нахождения уровней энергии иона Cr³⁺ в рубине необходимо записать гамильтониан в матричной форме и далее определить такие значения ε, при которых определитель матрицы

обращается в 0. Здесь I единичная матрица, и H это безразмерный гамильтониан, который выше записывался со штрихом.
Явный вид для матрицы H-εI следующий:

Здесь введены сокращенные обозначения c = cosθ и s = sinθ.
Детерминант матрицы такой структуры можно вычислить используя следующее соотношение:
,
где

,

,

.
После подстановки в эти соотношения соответствующих матричных элементов гамильтониана и проведения некоторых преобразований приходим к следующему секулярному уравнению относительно энергии уровней.

Это уравнение 4-й степени, так что имеет четыре корня по числу уровней энергии.
Угол θ = 54,7356^o подобран таким образом, что

и член с первой степенью ε пропадает. Уравнение становится биквадратным и его можно решить аналитически.
Оценить отношение величин электрического дипольного момента μ_E и магнитного момента электрона μ_H, образованного его орбитальным моментом, в атоме водорода. Принять, что орбитальное число и электрон движется по орбите радиусом d =1 ангстрему. Решение задачи дает оценку для отношения энергий магнитных и электрических взаимодействий заряженных частиц с электромагнитным полем. В системе СГС в свободном пространстве для плоской электромагнитной волны (их размерности одинаковые), а энергия взаимодействия дипольных моментов есть -μ_EE и -μ_HB.
Ответ: .

Для начала отметим, хотя это и не обязательно, что в системе СГС магнитная индукция B и электрическая напряженность E имееют одинаковую размерность. Магнтная индукция измеряется в гаусах (Гс). В основных единицах [Гс] = [г^1/2см^-1/2с^-1]. Единицы электрической напряженности поля выводятся из закона кулона для единичного заряда: . Электрический заряд измеряется в статкулонах (франклинах), который еще называется как единица заряда СГСЭ. Размерность франклина есть [Фр] = [г^1/2см^3/2с^-1]. В силу этого размерность электрической напряженности получается равной [г^1/2см^-1/2с^-1], что совпадает с гаусом.
Если вспомнить, что заряд электрона равен 4,8 x 10^-10 ед. СГСЭ, то , где D это внесистемная единица дипольного момента, называемая дебаем.
Магнитный дипольный момент (его орбитальная часть) равен эрг/гаус. Здесь g = 1, m_l, проекция орбитального момента на выделенную ось, равна 1, и - магнетон Бора. Таким образом, отношение .
Нетрудно проверить, что размерности μ_E и μ_H совпадают.