В данном разделе рассматривается прохождение электромагнитной волны через среду, в которой создана инверсная населенность на переходе, имеющим не равное 0 сечение поглощения. При этом фазовые соотношения между отдельными составляющими среды и поля, как это принято в методе балансных уравнений, во внимание не принимаются.
Рассмотрим ситуацию, когда пучок электромагнитных волн распространяется в одном направлении через среду, в которой на заданном переходе создана инверсная населенность. Предположим также, что спектральная ширина электромагнитной волны намного меньше ширины линии. Каждый атом, находящийся на верхнем уровне перехода, может вынужденно излучить фотон, усилив таким образом поле, и перейти на нижний уровень. В свою очередь атом, находяшийся на нижнем уровне, может поглотить один фотон поля, ослабив его, и перейти на верхний уровень. Вероятности обоих процессов одинаковы. Поэтому, если создана инверсная разность населенностей, то переходов с излучением будет больше, чем с поглощением, и в среднем будет наблюдаться увеличение энергии поля.
В разделе "Фотоны и атомы"" было показано, что плотность вероятности индуцированного излучения или поглощения атомом одного "узкополосного" фотона есть
где - плотность потока фотонов и - сечение перехода.
Принимая во внимание выражение (1) легко прийти к заключению, что при распространении электромагнитной волны вдоль участка среды длиной dl, поток фотонов получит прибавку
где - разность населенностей верхнего и нижнего уровней перехода.
Вклад в увеличение плотности потока фотонов с равной вероятностью даст каждый из атомов.
Выражение (2) можно рассматривать как дифференциальное уравнение относительно как функции координаты в направлении распространения. Решение этого уравнения в предположении, что все входящие в него величины не зависят от интенсивности поля, есть
Из этого выражения следует, что в случае инверсной разности населенностей перехода интенсивность электромагнитной волны при своем распространении увеличивается, причем экспоненциально. Величина
называется коэффициентом усиления среды. Коэффициент усиления является важнейшим параметром. Он имеет размерность обратной длины. Если взять расстояние dl такое, что , то в таком случае величина может быть интерпретирована, как относительное увеличение интенсивности волны при прохождении ею пути, длиной dl. К примеру, если γ = 10-5см-1, то это означает, что при прохождении пути в 1 см волна увеличит свою интенсивность в 10-5 раз, то есть на 0,001%.
Однако, увеличиваться до бесконечности на больших расстояниях энергия поля не может, так как избыток энергии в возбужденных атомах, которые они могут отдать полю, конечен. Формула (4) автоматически корректирует теоретически возможное неограниченное увеличение энергии поля. Если обратиться к анализу балансных уравнений для трехуровневой и четырехуровневой лазерных систем ( "Балансные уравнения" ), то оказывается, что инверсная разность населенностей не является неизменной величиной, а уменьшается с ростом интенсивности усиливаемого поля:
Здесь
есть интенсивность электромагнитной волны,
так называемый параметр насыщения среды.
- инверсная разность населенностей, создаваемая накачкой в отсутствие усиливаемого сигнала.
Параметр насыщения разграничивает два режима работы усиливающей среды. Если , то в таком случае о среде говорят как о ненасыщенной (ненасыщенный режим). Если же, наоборот, , то это режим, когда среда насыщена. В ненасыщенном режиме коэффициент усиления имеет свое максимальное значение. В насыщенном режиме происходит выравнивание населенностей уровней перехода, , и коэффициент усиления становится равным 0.
Подойти к разделению режимов на насыщенный и ненасыщенный можно по другому, используя простые физические соображения. Если обратить внимание на первую форму в цепочке равенств (5) для , то граница между этими двумя режимами определяется тем, как соотносятся и 1. τs это характерное время восстановления ненасыщенной инверсной разности населенностей при мгновенном выключении усиливаемого сигнала. это характерное время выравнивания населенностей под действием усиливаемого сигнала. Соотношение этих времен, которые относятся к противоположным друг к другу процессам, как раз и характеризует степень насыщения среды.
На Рис. 1 приведена зависимость инверсной разности населенностей уровней от величины интенсивности усиливаемой волны.
Можно принять условной границей, разделяющей ненасыщенный и насыщенный режим, точку, когда , в которой инверсная разность населенностей падает в два раза.
В соответствии с выражением (5) можно ввести ненасыщенный коэффициент усиления, или по другому, коэффициент усиления среды в случае малой интенсивности усиливаемого поля:
Понятно, что зависимость коэффициента усиления от интенсивности проходящей через среду волны будет иметь такой же характер, как показано на Рис.1