ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА

Как известно, в лазере на рабочем переходе должна быть создана инверсная заселенность. Электромагнитная волна, проходя через такую среду, заставляет атомы переходить с верхнего уровня на нижний и отдавать свою энергию электромагнитному полю. Постоянный процесс накачки восстанавливает инверсную заселенность и тем самым поддерживает процесс генерации лазерного излучения. Для расчета энергетических характеристик лазера достаточно знать вероятность индуцированных переходов, величину потерь поля и скорость накачки. В основе данного метода расчета лежит система уравнений, называемых балансными. Однако этот подход совершенно не учитывает информацию о фазовых и пространственных характеристиках поля, которая необходима для расчета частоты лазерной генерации. Балансные уравнения не принимают во внимание жесткие фазовые соотношения между движением частиц активной среды и частотой колебаний электромагнитного поля.

Более совершенным, однако и более трудоемким, является иной подход, называемый полуклассическим. Он получил очень широкое распространение. При полуклассическом рассмотрении задачи о функционировании лазера в качестве источника излучения фигурирует макроскопическая электрическая поляризация среды P, которая возникает при когерентных движениях частиц активной среды. Оказывается, при каждом атомном переходе с уровня на уровень у атома появляется связанный с этим переходом электрический дипольный момент. Этот дипольный момент колеблется с частотой поля и затухает во времени. Здесь следует напомнить, что в лазере наличие вынужденных переходов все время поддерживается энергией накачки. С точки зрения классической электродинамики колеблющийся дипольный момент либо излучает, либо поглощает, в зависимости от его фазы относительно внешней электромагнитной волны. Величина и фаза колебаний дипольного момента определяется разностью между частотой электромагнитного поля и собственной частотой перехода. Все атомные дипольные моменты в сумме создают величину, называемую объемной электрической поляризацией среды P (дипольный момент единицы объема). Если дипольные моменты частиц колеблются в фазе, то эффект образования объемной поляризации максимальный. Если же движение элементарных диполей расфазировано, то P=0. Таким образом, в отличие от метода балансных уравнений, где по известной вероятности перехода атома сразу вычисляется энергия, которая им излучается, в полуклассическом методе сначала вычисляется промежуточная величина, поляризация среды, а уже по ней энергия излучения частиц. При этом во внимание принимается не только амплитуда колебания поляризации, но и ее фаза, что отсутствует в методе балансных уравнений.

Данный метод называется полуклассическим в силу того, что он использует законы как классической, так и квантовой физики. Считается, что электромагнитное поле в этом методе подчиняется классическим законам, то есть уравнениям Максвелла, а атомы ведут себя как квантовомеханические тела и их поведение определяется из решения уравнения Шредингера.

Полная система уравнений в данном подходе, описывающая поведение как электромагнитного поля, так и активной среды, называется самосогласованными уравнениями лазера. Впервые они были получены независимо в работах Лэмба и Хакена. Самосогласованный характер уравнений обусловлен тем фактом, что объемная поляризация P, изменяющаяся во времени с частотой лазерного излучения, создается накачкой и электромагнитным полем лазера, и одновременно является источником генерации. Поле, являющееся источником возникновения поляризации, и поле, созданное поляризацией, должны совпадать, так как это есть одно и то же поле. То же самое можно утверждать и относительно поляризации.

Система уравнений может быть условно разделена на две группы. В первую группу входят уравнения, которые позволяют рассчитать поляризацию среды как функцию от параметров электромагнитного поля и накачки. Они называются материальными уравнениями. Вторая группа объединяет уравнения, с помощью которых по заданной поляризации среды рассчитывается величина электрической и магнитной напряженностей поля. Это иллюстрируется следующим рисунком, на котором каждая из двух групп представлена прямоугольным блоком.

Ниже приведено краткое описание шагов и приближений, которые приводят к системе самосгласованных уравнений лазера. Многие из них основаны на предполагаемых свойствах решения, а именно, на том, что электромагнитное поле и поляризация есть быстро осциллирующие функции времени с медленно меняющимися амплитудой и фазой. То есть их зависимость от времени имеет следующий вид:

Материальные уравнения

Эти уравнения дают возможность вычислять наведенную поляризацию среды P как функцию электрической напряженности поля E. Формально связь между P и E принято записывать как

,

где hi это диэлектрическая восприимчивость среды.

Поляризация P есть объемная плотность дипольного момента, то есть

P(definition),

где mu_i есть усредненный в пространстве дипольный момент i-го атома, а суммирование ведется по всем атомам, заключенным в небольшом объеме delt_V.

В квантовой механике среднее значение дипольного момента атома (как и любой другой физической величины) вычисляется путем взятия интеграла

mu_n_average,

где psi - волновая функция атома, а mu_i оператор дипольного момента атома.

Волновая функция, входящая в выражение (), определяется из решения уравнения Шредингера:

H Psi =...

Здесь H оператор Гамильтона, равный сумме операторов кинетической и потенциальной энергий. Явный вид оператора Гамильтона считается известным. Так как все атомы активной среды лазера одинаковые, то гамильтонианы у них совпадают.

Уравнения поля

С точки зрения классической электродинамики поле в лазере должно удовлетворять макроскопическим уравнениям Максвелла. Они могут быть записаны следующим образом:

rot H=...
(1)
rot E=...
(2)

Лазерная среда предполагается не проводящей и однородной, то есть характеристики среды, такие как eps, mu во всех точках лазерной ячейки одинаковы. Член sigma E введен для того, чтобы учесть различные виды потерь, которые всегда присутствуют в лазере. Объемная поляризация разделена на две части. P_res создается лазерным переходом. P_nonres обусловлена всеми другими источниками. Она дает вклад в диэлектрическую проницаемость epsilon:

epsilon E=...
(3)

С учетом того, что в отсутствие свободных зарядов div E = 0, нетрудно из уравнений (1) и (2) получить уравнение для напряженности E:

(4)

В этом уравнении правую часть можно считать источником электромагнитного поля. Предполагается, что поляризация P_res есть известная функция времени.

Поле в лазерном резонаторе есть совокупность полей собственных мод, то есть справедливо разложение

E=...,
(5)

где u_n(r) - пространственное распределение n-ой моды в “холодном” резонаторе, заполненном средой с диэлектрической и магнитной проницаемостями epsilon и mu, а E_n(t) - временная зависимость колебаний этой моды. В реальном лазере возбуждены не все собственные моды, а только те, для которых выполняются условия генерации. То есть те, для которых среда имеет достаточное усиление, чтобы перекрыть их потери.

Умножим (4) слева на u_m(r) и проинтегрируем по объему резонатора. При этом учтем, что

,
(6)

и что u_n(r) удовлетворяет волновому уравнению “холодного” резонатора

(7)

Здесь k_n=... волновой вектор, а Omega_n собственная частота “холодного” резонатора.

В результате получим

,
(8)

где

P_m=...
(9)

Выражение (8) представляет собой систему связанных уравнений. Это обусловлено тем, что составляющая поляризации P_m создается всеми модами, а не только m-й. Здесь мы примем допущение, что рассматривается случай, когда P_m в основном создается m-й модой поля. Такое допущение верно, если пространственное распределение макроскопической поляризации P_res повторяет форму моды. Поэтому P_m повторяет поведение E_m во времени, однако возможно с определенным сдвигом по фазе (как это было выяснено при расчете поляризации среды, состоящей из двухуровневых атомов). Это предположение позволяет считать, что моды независимы и решать уравнения (7), (8) для каждой моды отдельно.

Решение, как об этом говорилось в первой части, будем искать в виде

E_m(t)=...,
(10)

где E_m, fi_m - амплитуда и фаза поля, которые предполагаются медленно меняющимися по сравнению с cos(omega_m t) действительными функциями. E_m(t) в (10) это

E_m(t)=...
(11)

Условие медленного изменения амплитуды можно определить как малое ее изменение delta E_m << E_m за время, равное периоду колебаний T_m:

(12)

Это неравенство можно переписать в другом, более удобном для дальнейшего использования, виде:

,
(13)

Поляризация, как это следует из материальных уравнений, тоже осциллирует с частотой поля и также характеризуется медленно меняющимися амплитудой и фазой, поэтому P_m по аналогии с E_m можно записать как

P_m(t)=...
(14)

P_mt может быть занисано в том же виде, что и E_mt в (11)

P_m(t)=...
(15)

Однако между (11) и (15) имеется разница, заключающаяся в том, что если E_m0 - действительныя величина, то P_m0 - комплексная. Это связано с тем, что две величины колеблются с разными фазами.

Для упрощения дальнейших преобразований заменим в уравнении (8) E_m и P_m на их комплексные аналоги Emc и Pmc. После нахождения решения останется выделить из него действительную часть.

Вычислим производные

(16)
(17)

и аналогично для P_m, и подставим их в (8) с учетом неравенств (13), то есть медленного изменения амплитуд и фаз. В результате получим уравнение:

(18)

При проведении подстановки в производных dE_m/dt и d^2P_m/dt^2 оставлены главные члены, а в выражении для второй производной d^2E_m/dt^2 кроме главного члена -omega^2_mE_m оставлен еще и член следующего по величине порядка -2i omega dE_m/dt. Это связано с тем, что наибольший член -omega^2_m E_{m0} в значительной степени компенсируется слагаемым  Omega^2_mE_{m0}, так как предполагается, что . В (18) введена величина, которая, как нетрудно показать, имеет смысл добротности m-й моды:

Q_m=...
(19)

(18) можно преобразовать к более простой форме за счет того, что :

(20)

Лекция не закончена