Как известно, в лазере на рабочем переходе должна быть создана инверсная заселенность. Электромагнитная волна, проходя через такую среду, заставляет атомы переходить с верхнего уровня на нижний и отдавать свою энергию электромагнитному полю. Постоянный процесс накачки восстанавливает инверсную заселенность и тем самым поддерживает процесс генерации лазерного излучения. Для расчета энергетических характеристик лазера достаточно знать вероятность индуцированных переходов, величину потерь поля и скорость накачки. В основе данного метода расчета лежит система уравнений, называемых балансными. Однако этот подход совершенно не учитывает информацию о фазовых и пространственных характеристиках поля, которая необходима для расчета частоты лазерной генерации. Балансные уравнения не принимают во внимание жесткие фазовые соотношения между движением частиц активной среды и частотой колебаний электромагнитного поля.
Более совершенным, однако и более трудоемким, является иной подход, называемый полуклассическим. Он получил очень широкое распространение. При полуклассическом рассмотрении задачи о функционировании лазера в качестве источника излучения фигурирует макроскопическая электрическая поляризация среды , которая возникает при когерентных движениях частиц активной среды. Оказывается, при каждом атомном переходе с уровня на уровень у атома появляется связанный с этим переходом электрический дипольный момент. Этот дипольный момент колеблется с частотой поля и затухает во времени. Здесь следует напомнить, что в лазере наличие вынужденных переходов все время поддерживается энергией накачки. С точки зрения классической электродинамики колеблющийся дипольный момент либо излучает, либо поглощает, в зависимости от его фазы относительно внешней электромагнитной волны. Величина и фаза колебаний дипольного момента определяется разностью между частотой электромагнитного поля и собственной частотой перехода. Все атомные дипольные моменты в сумме создают величину, называемую объемной электрической поляризацией среды (дипольный момент единицы объема). Если дипольные моменты частиц колеблются в фазе, то эффект образования объемной поляризации максимальный. Если же движение элементарных диполей расфазировано, то . Таким образом, в отличие от метода балансных уравнений, где по известной вероятности перехода атома сразу вычисляется энергия, которая им излучается, в полуклассическом методе сначала вычисляется промежуточная величина, поляризация среды, а уже по ней энергия излучения частиц. При этом во внимание принимается не только амплитуда колебания поляризации, но и ее фаза, что отсутствует в методе балансных уравнений.
Данный метод называется полуклассическим в силу того, что он использует законы как классической, так и квантовой физики. Считается, что электромагнитное поле в этом методе подчиняется классическим законам, то есть уравнениям Максвелла, а атомы ведут себя как квантовомеханические тела и их поведение определяется из решения уравнения Шредингера.
Полная система уравнений в данном подходе, описывающая поведение как электромагнитного поля, так и активной среды, называется самосогласованными уравнениями лазера. Впервые они были получены независимо в работах Лэмба и Хакена. Самосогласованный характер уравнений обусловлен тем фактом, что объемная поляризация , изменяющаяся во времени с частотой лазерного излучения, создается накачкой и электромагнитным полем лазера, и одновременно является источником генерации. Поле, являющееся источником возникновения поляризации, и поле, созданное поляризацией, должны совпадать, так как это есть одно и то же поле. То же самое можно утверждать и относительно поляризации.
Система уравнений может быть условно разделена на две группы. В первую группу входят уравнения, которые позволяют рассчитать поляризацию среды как функцию от параметров электромагнитного поля и накачки. Они называются материальными уравнениями. Вторая группа объединяет уравнения, с помощью которых по заданной поляризации среды рассчитывается величина электрической и магнитной напряженностей поля. Это иллюстрируется следующим рисунком, на котором каждая из двух групп представлена прямоугольным блоком.
Ниже приведено краткое описание шагов и приближений, которые приводят к системе самосгласованных уравнений лазера. Многие из них основаны на предполагаемых свойствах решения, а именно, на том, что электромагнитное поле и поляризация есть быстро осциллирующие функции времени с медленно меняющимися амплитудой и фазой. То есть их зависимость от времени имеет следующий вид:
Эти уравнения дают возможность вычислять наведенную поляризацию среды как функцию электрической напряженности поля . Формально связь между и принято записывать как
где это диэлектрическая восприимчивость среды.
Поляризация есть объемная плотность дипольного момента, то есть
где есть усредненный в пространстве дипольный момент -го атома, а суммирование ведется по всем атомам, заключенным в небольшом объеме .
В квантовой механике среднее значение дипольного момента атома (как и любой другой физической величины) вычисляется путем взятия интеграла
где - волновая функция атома, а оператор дипольного момента атома.
Волновая функция, входящая в выражение (), определяется из решения уравнения Шредингера:
Здесь оператор Гамильтона, равный сумме операторов кинетической и потенциальной энергий. Явный вид оператора Гамильтона считается известным. Так как все атомы активной среды лазера одинаковые, то гамильтонианы у них совпадают.
С точки зрения классической электродинамики поле в лазере должно удовлетворять макроскопическим уравнениям Максвелла. Они могут быть записаны следующим образом:
Лазерная среда предполагается не проводящей и однородной, то есть характеристики среды, такие как во всех точках лазерной ячейки одинаковы. Член введен для того, чтобы учесть различные виды потерь, которые всегда присутствуют в лазере. Объемная поляризация разделена на две части. создается лазерным переходом. обусловлена всеми другими источниками. Она дает вклад в диэлектрическую проницаемость :
С учетом того, что в отсутствие свободных зарядов , нетрудно из уравнений (1) и (2) получить уравнение для напряженности :
В этом уравнении правую часть можно считать источником электромагнитного поля. Предполагается, что поляризация есть известная функция времени.
Поле в лазерном резонаторе есть совокупность полей собственных мод, то есть справедливо разложение
где - пространственное распределение -ой моды в “холодном” резонаторе, заполненном средой с диэлектрической и магнитной проницаемостями и , а - временная зависимость колебаний этой моды. В реальном лазере возбуждены не все собственные моды, а только те, для которых выполняются условия генерации. То есть те, для которых среда имеет достаточное усиление, чтобы перекрыть их потери.
Умножим (4) слева на и проинтегрируем по объему резонатора. При этом учтем, что
и что удовлетворяет волновому уравнению “холодного” резонатора
Здесь волновой вектор, а собственная частота “холодного” резонатора.
В результате получим
где
Выражение (8) представляет собой систему связанных уравнений. Это обусловлено тем, что составляющая поляризации создается всеми модами, а не только -й. Здесь мы примем допущение, что рассматривается случай, когда в основном создается -й модой поля. Такое допущение верно, если пространственное распределение макроскопической поляризации повторяет форму моды. Поэтому повторяет поведение во времени, однако возможно с определенным сдвигом по фазе (как это было выяснено при расчете поляризации среды, состоящей из двухуровневых атомов). Это предположение позволяет считать, что моды независимы и решать уравнения (7), (8) для каждой моды отдельно.
Решение, как об этом говорилось в первой части, будем искать в виде
где - амплитуда и фаза поля, которые предполагаются медленно меняющимися по сравнению с действительными функциями. в (10) это
Условие медленного изменения амплитуды можно определить как малое ее изменение за время, равное периоду колебаний :
Это неравенство можно переписать в другом, более удобном для дальнейшего использования, виде:
Поляризация, как это следует из материальных уравнений, тоже осциллирует с частотой поля и также характеризуется медленно меняющимися амплитудой и фазой, поэтому по аналогии с можно записать как
может быть занисано в том же виде, что и в (11)
Однако между (11) и (15) имеется разница, заключающаяся в том, что если - действительныя величина, то - комплексная. Это связано с тем, что две величины колеблются с разными фазами.
Для упрощения дальнейших преобразований заменим в уравнении (8) и на их комплексные аналоги и . После нахождения решения останется выделить из него действительную часть.
Вычислим производные
и аналогично для , и подставим их в (8) с учетом неравенств (13), то есть медленного изменения амплитуд и фаз. В результате получим уравнение:
При проведении подстановки в производных и оставлены главные члены, а в выражении для второй производной кроме главного члена оставлен еще и член следующего по величине порядка . Это связано с тем, что наибольший член в значительной степени компенсируется слагаемым , так как предполагается, что . В (18) введена величина, которая, как нетрудно показать, имеет смысл добротности m-й моды:
(18) можно преобразовать к более простой форме за счет того, что :